Math of Finance (7)
Chapter Seven Complex Annuities
الفصل السابع المعاشات المركبة
An annuity due has been defined previously as an annuity with periodic payments made at the beginning of each payment interval.
عُرِّف المعاش المستحق سابقًا بأنه معاش يُدفع دفعات دورية في بداية كل فترة دفع.
In the following diagram, R represents the payment.
في الرسم البياني التالي، يُمثل R الدفعة.
Assume that the term of the annuity is one year, the payments are made quarterly, and the interest is compounded monthly.
لنفترض أن مدة المعاش سنة واحدة، وأن الدفعات تُدفع ربع سنويًا، وأن الفائدة تُجمع شهريًا.
Notice that when each payment, A, accumulates for three Interest periods (or one payment Interval, quartet)
لاحظ أنه عند تراكم كل دفعة، A، لثلاث فترات فائدة (أو فترة دفع واحدة، رباعية).
In other words, the value of R at the beginning of each payment interval is equivalent to the value of R(1+i)3 at the end of each payment interval.
بعبارة أخرى، فإن قيمة R في بداية كل فترة دفع تُعادل قيمة R(1+i)3 في نهاية كل فترة دفع.
The values of R(l+i)3 form an ordinary complex annuity.
تُشكل قيم R(l+i)3 معاشًا مركبًا عاديًا.
The amount of the ordinary annuity according to Formula (14-8) is
مبلغ المعاش العادي وفقًا للمعادلة (14-8) هو:
Similarly, let c = the number of interest periods in one payment interval and n the number of payments.
وبالمثل، لنفترض أن c = عدد فترات الفائدة في فترة دفع واحدة، وn = عدد الدفعات.
The amount of the complex annuity due (مبلغ المعاش المركب المستحق)
the above may be written (يمكن كتابة ما سبق)
The present value of the complex annuity due
القيمة الحالية للمعاش المركب المستحق
Example 5 (مثال)
If the interest rate is 6% compounded monthly
إذا كان معدل الفائدة 6% مركبًا شهريًا
what is the amount and the present value of an annuity of $150 payable at the beginning of each quarter for one year?
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 150 دولارًا يُدفع في بداية كل ربع سنة لمدة عام واحد؟
Solution (الحل)
R = $150 (per quarter) (ربع سنوي)
n = 4 (quarter payments) (دفعات ربع سنوية)
i = 6%/12 = % (per month) (شهريًا)
c = 3 (interest periods in one quarter) (فترات فائدة في ربع سنوي واحد)
Example 6 (مثال)
Find the amount and the present value of an annuity of $100 payable at the beginning of each month foi1 two years.
أوجد المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 100 دولار يُدفع في بداية كل شهر لمدة عامين.
Assume that the interest rate is 12% compounded quarterly.
افترض أن معدل الفائدة 12% مركبًا ربع سنويًا.
Solution (الحل)
R = $100 (per month) (شهريًا)
n = 2 x 12 =24 (monthly payments) (أقساط شهرية)
i= 0.12%/4 = 3% (per quarter) (ربع سنوي)
c = 1/3 (interest periods in one month) (فترات الفائدة في شهر واحد)
nc = 24 x 1/3 = 8 (interest periods in two years) (فترات الفائدة في سنتين)
The Amount and the Present Value of a Deferred Complex Annuity
المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي مؤجل مركب
The amount of a deferred complex annuity is the final value at the end of the term of the annuity.
مبلغ المعاش السنوي المؤجل المركب هو القيمة النهائية في نهاية مدة المعاش.
Therefore, the amount of a deferred complex annuity
لذلك، فإن مبلغ المعاش المؤجل المركب
is the same as the amount of the ordinary complex annuity, or
هو نفس مبلغ المعاش السنوي المركب العادي، أو
The present value of a deferred complex annuity.
القيمة الحالية لمعاش سنوي مؤجل مركب.
is the value at the beginning of the period of deferment and.
هي القيمة في بداية فترة التأجيل.
may be obtained by either of the two methods described below.
يمكن الحصول عليها بإحدى الطريقتين الموضحتين أدناه.
Let d = the number of deferred payment intervals
ليكن d = عدد فترات الدفع المؤجل
c = the number of interest periods per payment interval
c = عدد فترات الفائدة لكل فترة دفع
The period of deferment should include cd interest periods, arid the term of the deferred annuity should include Ac interest periods.
يجب أن تشمل فترة التأجيل فترات فائدة cd، ويجب أن تشمل مدة المعاش المؤجل فترات فائدة Ac.
METHOD A (الطريقة أ)
First, consider that the payments were made during the period of deferment.
أولاً، لنفترض أن الدفعات سُددت خلال فترة التأجيل.
Second consider that there are two ordinary annuities; one consists of d payments (or cd interest periods)
ثانياً، لنفترض وجود معاشَين سنويَّين عاديَّين؛ أحدهما يتكون من d دفعات (أو فترات فائدة cd)
while the other consists of d + n payments [or cd + nc = c(d + n) interest periods].
بينما يتكون الآخر من d + n دفعات [أو cd + nc = c(d + n) فترات فائدة].
Third, subtract the present value of the annuity consisting of d payments from the present value of the annuity consisting of (d + n) payments.
ثالثاً، نطرح القيمة الحالية للمعاش السنوي الذي يتكون من d دفعات من القيمة الحالية للمعاش السنوي الذي يتكون من (d + n) دفعات.
The remainder is the answer.
الباقي هو الناتج.
This value may be obtained by formula as follows:
يمكن الحصول على هذه القيمة بالصيغة التالية:
METHOD B (الطريقة ب)
Discount the present value of the ordinary complex annuity for the period of deferment.
اخصم القيمة الحالية للمعاش السنوي المركب العادي لفترة التأجيل.
This may be done by formula as shown below
يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة الموضحة أدناه.
Method A and B are diagrammed as follows
الطريقتان (أ) و(ب) موضحتان بيانيًا كما يلي
Example 7 (مثال)
Find (أوجد)
(a) the amount (المبلغ)
(b) the present value of an annuity of $150 payable quarterly for 20 payments if the first payment is due at the end of 15 months and money is worth 6% compounded semiannually.
القيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 150 دولارًا أمريكيًا يُدفع ربع سنويًا على 20 دفعة، إذا كانت الدفعة الأولى مستحقة في نهاية 15 شهرًا، وكانت قيمة المال 6% مركبة نصف سنوية.
Solution (الحل)
R = $150 (per quarter) (لكل ربع سنة)
n = 20 (quarterly payments) (دفعات ربع سنوية)
i = 6% ÷ 2 = 3% (per six months) (لكل ستة أشهر)
c = 0.5 (interest periods in one quarter)
(فترات الفائدة في ربع سنة واحد)
d = 4 (quarters or 12 months, since the first payment covers the payment interval from the end of the 12th month to the end of the 15th month)
(أرباع أو 12 شهرًا، لأن الدفعة الأولى تغطي فترة الدفع من نهاية الشهر الثاني عشر إلى نهاية الشهر الخامس عشر)
The present value may be checked by the use of the formula
يمكن التحقق من القيمة الحالية باستخدام الصيغة
Exercise (تمرين)
1. Find the payment of the ordinary complex annuity in each of the following problems
أوجد قيمة دفعة المعاش السنوي المركب العادي في كل من المسائل التالية
5. The amount of an annuity at the end of ten years is $8,000
قيمة المعاش السنوي في نهاية عشر سنوات هي 8000 دولار
the payments are made at the end of each year
تُدفع الدفعات في نهاية كل عام،
and the interest rate is 11% compounded semiannually.
وسعر الفائدة 11% مركبًا نصف سنويًا.
What is the size of each annual payment?
ما حجم كل دفعة سنوية؟
6. Don Emerson wishes to receive $6,000 four years from now.
يرغب دون إيمرسون في استلام 6000 دولار بعد أربع سنوات من الآن.
How much must he invest at the end of each quarter during the four-year period?
ما المبلغ الذي يجب عليه استثماره في نهاية كل ربع سنة خلال فترة السنوات الأربع؟
Assume 1hat he will make his first investment three months from now and he can earn 5% interest compounded annually.
لنفترض أنه سيستثمر أول أمواله بعد ثلاثة أشهر من الآن، ويمكنه ربح فائدة مركبة بنسبة 5% سنويًا.
7. The present value of an annuity for three years is $500 the payments are made at the end of every six months,
القيمة الحالية لمعاش سنوي لمدة ثلاث سنوات هي 500 دولار أمريكي، وتُدفع الدفعات في نهاية كل ستة أشهر
and the interest rate is 6% compounded monthly
وسعر الفائدة 6% شهريًا.
How large is each payment?
ما حجم كل دفعة؟
8. Anna Parker wishes to receive $2,000 in cash now.
ترغب آنا باركر في استلام 2000 دولار أمريكي نقدًا الآن.
She agrees to repay it by making 15 equal monthly payments with the first payment to be made one month from now.
توافق على سداد المبلغ على 15 دفعة شهرية متساوية، على أن تُدفع الدفعة الأولى بعد شهر واحد من الآن.
The interest rate is 15% compounded quarterly.
سعر الفائدة 15% ربع سنويًا.
What is the size of each payment?
ما حجم كل دفعة؟
9. Find the amount and the. present value of an annuity of $ 1,200 payable at the beginning of each year for six years with interest at 5% compounded monthly.
أوجد المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 1200 دولار أمريكي يُدفع في بداية كل عام لمدة ست سنوات، بفائدة مركبة بنسبة 5% شهريًا.
10. What are the amount and the present, value of an annuity of $2,800 payable at the end of every six months for 18 years with interest at 8.5% compounded annually?
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ٢٨٠٠ دولار أمريكي يُدفع كل ستة أشهر لمدة ١٨ عامًا بفائدة مركبة سنوية بنسبة ٨.٥٪؟
11. What are the amount and the present value of an annuity of $130 payable monthly for 30 payments
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ١٣٠ دولارًا أمريكيًا يُدفع شهريًا على ٣٠ دفعة
with the first payment at the end of 19 months from the present time with interest at 12% compounded semiannually.
بحيث تُدفع الدفعة الأولى بعد ١٩ شهرًا من الوقت الحالي بفائدة مركبة بنسبة ١٢٪ تُدفع نصف سنويًا؟
12. Find the amount and the present value of an annuity of $180 payable semiannually, for eight payments, with the first payment in 5.5 years with interest at 5% compounded quarterly.
أوجد المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ١٨٠ دولارًا أمريكيًا يُدفع نصف سنويًا على ثماني دفعات، بحيث تُدفع الدفعة الأولى بعد ٥.٥ سنوات بفائدة مركبة بنسبة ٥٪ تُدفع ربع سنويًا.
Computing Formulas by Calculators and Computers
حساب الصيغ باستخدام الآلات الحاسبة والحواسيب
A. Computing formulas (14-1) and (14-2):
Example 1 (مثال)
Compute example 1, section 14.1 (احسب المثال ١، القسم ١٤.١)
(a) Simple calculator (آلة حاسبة بسيطة)
(b) Business Analyst Calculator (آلة حاسبة لمحلل أعمال)
(c) Computer Using Spreadsheet (حاسوب باستخدام جدول بيانات)
1. Entering Data and formulas (إدخال البيانات والصيغ)
Spreadsheet Display (عرض جدول البيانات)
2. Finding the answer (إيجاد الإجابة)
EXAMPLE 2 (مثال)
Compute Example 3, Section 14.1 (حساب المثال رقم 3، القسم 14.1)
(a) Simple Calculator (آلة حاسبة بسيطة)
(b) Business Analyst Calculator (آلة حاسبة لمحلل الأعمال)
(C) COMPUTER USING SPREADSHEET
استخدام الحاسوب لجدول بيانات
I. Entering Data and Formulas
إدخال البيانات والصيغ
Spreadsheet Display
عرض جدول البيانات
(b) Business Analyst Calculator
آلة حاسبة لمحلل الأعمال
(c) COMPUTER USING SPREADSHEET
استخدام الحاسوب لجدول بيانات
E. Computing Complex Annuity Formulas (14-8) to (14-14)
حساب صيغ المعاشات السنوية المعقدة
In computing complex annuity formulas, calculators are helpful, but less effective than computers.
في حساب صيغ المعاشات السنوية المعقدة، تُعدّ الآلات الحاسبة مفيدة، ولكنها أقل فعالية من الحاسوب.
Therefore, only the method using computers is discussed in the following examples of complex annuity problems.
لذلك، سنتناول فقط طريقة استخدام الحاسوب في الأمثلة التالية لمسائل المعاشات السنوية المعقدة.
Computer Using Spreadsheet
حاسوب باستخدام جدول بيانات
1. Entering Data and Formulas (إدخال البيانات والصيغ)
Spreadsheet display (عرض جدول البيانات)
2. Finding the Answer (إيجاد الإجابة)
Press the "Enter" key to display the answer (located in cell B5).
اضغط على مفتاح "Enter" لعرض الإجابة (الموجودة في الخلية B5)
v. computing formulas (14-13) and (14-14) (صيغ الحوسبة)
EXAMPLE 8 (مثال)
Computer Using Spreadsheet
حاسوب باستخدام جدول بيانات
1. Entering Data and Formulas (إدخال البيانات والصيغ)
Spreadsheet display (عرض جدول البيانات)
2. Finding the Answer (إيجاد الإجابة)
Press the "Enter" key to display the answer (located in cell B6).
اضغط على مفتاح "Enter" لعرض الإجابة (الموجودة في الخلية B6)
Summary of Annuity Within Formula
ملخص المعاش التقاعدي ضمن الصيغة
Symbols (الرموز)
R = size of equal payments of an annuity
حجم الدفعات المتساوية للمعاش السنوي
n = number of payments (عدد الدفعات)
i = interest rate per conversion period
معدل الفائدة لكل فترة تحويل
c = number of interest periods in one payment interval or payment interval interest period
عدد فترات الفائدة في فترة دفع واحدة أو فترة فائدة فترة الدفع
d = number of deferred payment intervals
عدد فترات الدفع المؤجل
Exercise (تمرين)
1. What are the amount and the present value of an annuity of $140 payable at the beginning of each quarter for 30 quarters if the interest rate is 12% compounded quarterly?
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 140 دولارًا أمريكيًا يُدفع في بداية كل ربع سنة لمدة 30 ربعًا، إذا كان معدل الفائدة 12% مركبًا ربع سنويًا؟
2. What are the amount and the present value of an annuity of $60 payable at the beginning of every six months for 20 years if the interest rate is 15% compounded semiannually?
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة 60 دولارًا أمريكيًا يُدفع في بداية كل ستة أشهر لمدة 20 عامًا، إذا كان معدل الفائدة 15% مركبًا نصف سنويًا؟
3. In Problem 1, if payments are payable at the end of each quarter, what are the amount and the present value?
في المسألة ١، إذا كانت المدفوعات مستحقة الدفع في نهاية كل ربع سنة، فما هو المبلغ والقيمة الحالية؟
4. Find the amount and the present value in Problem 2 if the payments of $60 each are payable at the end of every six months.
أوجد المبلغ والقيمة الحالية في المسألة ٢ إذا كانت المدفوعات بقيمة ٦٠ دولارًا تُدفع في نهاية كل ستة أشهر.
5. Refer to Problem 1. What are the amount and the present value if the payments of the annuity are payable at the end of each quarter and the interest rate is 12% compounded (a) monthly, (b) semiannually?
راجع المسألة ١. ما هو المبلغ والقيمة الحالية إذا كانت مدفوعات المعاش السنوي تُدفع في نهاية كل ربع سنة، وكان معدل الفائدة ١٢٪ مركبًا (أ) شهريًا، (ب) نصف سنويًا؟
6. Refer to Problem 2. What are the amount and the present value if the payments are payable at the end of each semiannual period and the Interest rate is 10% compounded (a) quarterly, (b) annually?
راجع المسألة ٢. ما هو المبلغ والقيمة الحالية إذا كانت المدفوعات مستحقة الدفع في نهاية كل نصف سنة، وكان معدل الفائدة ١٠٪ مركبًا (أ) ربع سنويًا، (ب) سنويًا؟
7. Refer to Problem 1’. What are the amount and the present value if the interest rate is 8% compounded (a) monthly, (b) semiannually?
راجع المسألة ١. ما هو المبلغ والقيمة الحالية إذا كان معدل الفائدة ٨٪ مركبًا (أ) شهريًا، (ب) نصف سنويًا؟
8. Refer to Problem 2. Find the amount and the ‘present value if the interest rate is 8% compounded (a) quarterly, (b) annually.
راجع المسألة ٢. أوجد المبلغ و"القيمة الحالية" إذا كان معدل الفائدة ٨٪ مركبًا (أ) ربع سنويًا، (ب) سنويًا.
9. Tom plans to deposit $30 now and $30 hereafter every month for a total of 36 deposits.
يخطط توم لإيداع ٣٠ دولارًا الآن و٣٠ دولارًا لاحقًا كل شهر، ليصبح المجموع ٣٦ إيداعًا.
If his deposits can earn 9% interest compounded monthly
إذا كانت ودائعه تدرّ فائدة مركبة شهرية بنسبة ٩٪،
what is the final value at the end of three years?
فما هي القيمة النهائية بنهاية ثلاث سنوات؟
10. Assume that $80 is deposited now and hereafter for26 additional quarterly deposits of $80 cacti What is the final value if the interest rate is 6% compounded quarterly?
افترض أنه تم إيداع ٨٠ دولارًا الآن وبعد ذلك لـ ٢٦ إيداعًا ربع سنويًا إضافيًا بقيمة ٨٠ دولارًا. ما هي القيمة النهائية إذا كان معدل الفائدة ٦٪ مركبًا ربع سنويًا؟
11. Refer to Problem 9. What is the present value of the annuity?
راجع المسألة ٩. ما هي القيمة الحالية للمعاش السنوي؟
12. Refer to Problem 10. What is the present value of the annuity?
راجع المسألة ١٠. ما هي القيمة الحالية للمعاش السنوي؟
13. On April 1/1999, Jane Taylor deposits $120 in a bank that pays 6% interest compounded quarterly.
في ١ أبريل ١٩٩٩، أودعت جين تايلور ١٢٠ دولارًا في بنك يدفع فائدة مركبة بنسبة ٦٪ ربع سنويًا.
She plans to deposit the same amount every three months thereafter until the last deposit on April 1, 2003. How much money will be in her account on July 1, 2003?
تُخطط لإيداع نفس المبلغ كل ثلاثة أشهر بعد ذلك حتى آخر إيداع في 1 أبريل 2003. كم سيتبقى في حسابها في 1 يوليو 2003؟
14. A suite of living room furniture can be bought for $40 per month for 12 monthly payments with the first payment due now, If money is worth 7% compounded monthly, what is the cash price of the suite?
يُمكن شراء طقم أثاث غرفة معيشة مقابل 40 دولارًا شهريًا على 12 دفعة شهرية، مع استحقاق الدفعة الأولى الآن. إذا كانت قيمة المال 7% مُركبة شهريًا، فما هو سعره النقدي؟
15. A house can be bought for $11,200 down plus $1,200 per month payable at the end of each month The last monthly payment will be 14 years and 11 months from the date of purchase.
يُمكن شراء منزل مقابل 11,200 دولار مُقدمًا، بالإضافة إلى 1,200 دولار شهريًا تُدفع في نهاية كل شهر. ستكون الدفعة الشهرية الأخيرة بعد 14 عامًا و11 شهرًا من تاريخ الشراء.
The payment plan is computed at 12% interest compounded monthly.
تُحسب خطة الدفع بفائدة 12% مُركبة شهريًا.
What is the cash price of the house?
ما هو سعر المنزل النقدي؟
16. Refer to Problem 15. If (he house can be rented for $850 per month payable in advance each month and the house is expected to have a value of $220,000 at the ‘end of 15 years,
راجع المسألة ١٥. إذا كان من الممكن استئجار منزل مقابل ٨٥٠ دولارًا أمريكيًا شهريًا، تُدفع مقدمًا كل شهر، وكان من المتوقع أن تبلغ قيمة المنزل ٢٢٠,٠٠٠ دولار أمريكي في نهاية ١٥ عامًا
should someone, who wishes to occupy the house for 15 years only, buy or rent the house?
فهل ينبغي لشخص يرغب في استئجار المنزل لمدة ١٥ عامًا فقط أن يشتريه أم يستأجره؟
Assume that the money can be invested at (a) 12% compounded monthly
افترض أنه يمكن استثمار المال بنسبة (أ) ١٢٪ شهريًا،
(b) 10.5% compounded monthly. (Do not consider any other expense or costs in making the decision to buy or rent.)
(ب) ١٠.٥٪ شهريًا. (لا تأخذ في الاعتبار أي نفقات أو تكاليف أخرى عند اتخاذ قرار الشراء أو الاستئجار.)
17. What are the amount and the present value of an annuity of $40 payable at the end of each month for 5 years if the interest rate is 6% compounded quarterly.
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ٤٠ دولارًا أمريكيًا يُدفع في نهاية كل شهر لمدة ٥ سنوات، إذا كان معدل الفائدة ٦٪ يُدفع ربع سنويًا؟
18. Find the amount and the present value of an annuity of $75 payable at the end of each year for 24 years if the interest rate is 6% compounded quarterly
أوجد المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ٧٥ دولارًا أمريكيًا يُدفع في نهاية كل عام لمدة ٢٤ عامًا، إذا كان معدل الفائدة ٦٪ يُدفع ربع سنويًا.
19. Johnson wishes to have $3,000 six years from now.
يرغب جونسون في الحصول على ٣٠٠٠ دولار أمريكي بعد ست سنوات من الآن.
How much must he invest each year if the first investment starts now and the interest is 5% compounded annually?
كم يجب أن يستثمر سنويًا إذا بدأ الاستثمار الأول الآن وكانت الفائدة ٥٪ مركبة سنويًا؟
He will not make an investment at the end of six years.
لن يستثمر بعد ست سنوات.
20. Davy’s father wishes to have $5000 when Davy reaches 18 years of age.
يرغب والد ديفي في الحصول على ٥٠٠٠ دولار أمريكي عندما يبلغ ديفي ١٨ عامًا.
How much must the father invest now and each quarter thereafter at a 12% interest rate compounded quarterly?
كم يجب أن يستثمر الأب الآن وكل ثلاثة أشهر بعد ذلك بمعدل فائدة ١٢٪ مركبة ربع سنويًا؟
21. Gregorio wants to have $3,000 at the end o
يرغب جريجوريو في الحصول على ٣٠٠٠ دولار أمريكي في نهاية
His investment can earn 5% interest compounded monthly.
يمكن أن يدر استثماره فائدة مركبة بنسبة 5% شهريًا.
How much must he invest each year if the fir investment starts (a) now?
كم يجب أن يستثمر سنويًا إذا بدأ الاستثمار الأول (أ) الآن؟
(b) at the end of one year?
في نهاية عام واحد؟
22. Compute Problem 20 assuming the interest rate is 12% compounded semi. annually, Also, find the size of the quarterly investment if Davy’s father makes the first investment:
احسب المسألة 20 بافتراض أن معدل الفائدة 12% مركب نصف سنوي. أوجد أيضًا حجم الاستثمار ربع السنوي إذا قام والد ديفي بالاستثمار الأول:
three months from now and the last Investment on Davy’s 18th birthday The interest rate is 12% compounded semiannually.
بعد ثلاثة أشهر من الآن، وآخر استثمار في عيد ميلاد ديفي الثامن عشر. معدل الفائدة 12% مركب نصف سنوي.
23. A washing machine can be bought for 18 equal monthly payments with the first payment due now.
يمكن شراء غسالة ملابس على 18 دفعة شهرية متساوية، مع استحقاق الدفعة الأولى الآن.
If the cash price is $400 and (he Interest rate Is 6% compounded monthly, what is the size of each payment?
إذا كان السعر النقدي 400 دولار أمريكي، وكان معدل الفائدة 6% مركبًا شهريًا، فما حجم كل دفعة؟
24. Mrs. Rogers purchased a truck on May 1, 1998, and promised to pay for it In equal quarterly installments, The cash price of the truck was $9,000.
اشترت السيدة روجرز شاحنة في 1 مايو 1998، ووعدت بدفع ثمنها على أقساط ربع سنوية متساوية. كان السعر النقدي للشاحنة 9000 دولار أمريكي.
The first payment was made on the purchase date and the last payment is to be made on May 1, 2003.
سُددت الدفعة الأولى في تاريخ الشراء، وستُدفع الدفعة الأخيرة في 1 مايو 2003.
What is the size of each quarterly payment It’ the Interest rate is 8% compounded quarterly?
ما حجم كل دفعة ربع سنوية؟ إذا كان معدل الفائدة 8% مركبًا ربع سنويًا؟
25. What is (he answer in Problem 23 f the interest rate is 6% compounded semiannually?
ما هو (الإجابة في السؤال 23 إذا كان معدل الفائدة 6% مركبًا نصف سنويًا؟
26. What is the answer in Problem 24 if the Interest rate is 8% compounded monthly?
ما هو (الإجابة في السؤال 24 إذا كان معدل الفائدة 8% مركبًا شهريًا؟
27. At what nominal rate compounded quarterly will an annuity of $300 payable at the beginning of each quarter for eight years amount to $12,000?
بأي معدل اسمي مركب ربع سنوي، يبلغ مجموع قيمة المعاش السنوي 300 دولار أمريكي، المستحق في بداية كل ربع سنة لمدة ثماني سنوات، 12000 دولار أمريكي؟
28. What is 11w nominal rate compounded monthly if the amount of an annuity of $60 payable at the beginning of each month for three years is $2,500?
ما هو المعدل الاسمي المركب لـ ١١ أسبوعًا إذا كان مبلغ معاش سنوي بقيمة ٦٠ دولارًا يُدفع في بداية كل شهر لمدة ثلاث سنوات ٢٥٠٠ دولار؟
29. At what nominal rate compounded quarterly does an annuity of $80 payable at the beginning of each quarter for nine years have a present value of $2,300?
ما هو المعدل الاسمي المركب ربع السنوي الذي يكون فيه معاش سنوي بقيمة ٨٠ دولارًا يُدفع في بداية كل ربع سنة لمدة تسع سنوات، قيمته الحالية ٢٣٠٠ دولار؟
30. What is the nominal rate compounded semiannually if the present value of an annuity of $150 payable at the beginning of every six months for 10 years is $2,500?
ما هو المعدل الاسمي المركب نصف السنوي إذا كانت القيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ١٥٠ دولارًا يُدفع في بداية كل ستة أشهر لمدة ١٠ سنوات ٢٥٠٠ دولار؟
31. If $80 is deposited at the beginning of each quarter at 6% compounded quarterly, how many payments will be required for the deposits to amount to at least $3000?
إذا تم إيداع ٨٠ دولارًا في بداية كل ربع سنة بنسبة ٦٪ مركبة ربع سنوية، فكم عدد الدفعات المطلوبة حتى تصل قيمة الودائع إلى ٣٠٠٠ دولار على الأقل؟
32. On March I 1999, Bobson plans to invest $120 each month with the first investment starting then She wishes to have at least $5,000 as the final value if she can earn 6% interest compounded monthly on her investment, on what date will she have the final value
في الأول من مارس ١٩٩٩، خططت بوبسون لاستثمار ١٢٠ دولارًا شهريًا، على أن يبدأ الاستثمار الأول في ذلك الوقت. ترغب في الحصول على ٥٠٠٠ دولار على الأقل كقيمة نهائية، وإذا حققت فائدة مركبة شهرية بنسبة ٦٪ على استثمارها، ففي أي تاريخ ستحصل على القيمة النهائية؟
33. Carlson purchased a $6,000 car and agreed to pay for it with monthly installments of $180 each, starting on the date of purchase. If the interest rate is 12% compounded monthly, how many monthly payments are required?
اشترت كارلسون سيارة بقيمة ٦٠٠٠ دولار، ووافقت على دفع ثمنها بأقساط شهرية بقيمة ١٨٠ دولارًا، تبدأ من تاريخ الشراء. إذا كان معدل الفائدة المركبة شهريًا ١٢٪، فكم عدد الدفعات الشهرية المطلوبة؟
34. The present value of an annuity of $60 payable at the beginning of each quarter is $2,500. What is the number of payments of the annuity if the interest rate is 8% compounded quarterly?
القيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ٦٠ دولارًا يُدفع في بداية كل ربع سنة هي ٢٥٠٠ دولار. ما عدد دفعات المعاش إذا كان معدل الفائدة المركبة ربع سنويًا ٨٪؟
35. What are the amount and the present value of an annuity of $120 payable at the end of every six months for 15 payments, with the first payment to be made two years from now? Assume that the Interest rate is 10% compounded semiannually.
ما هو المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ١٢٠ دولارًا يُدفع في نهاية كل ستة أشهر على ١٥ دفعة، على أن تُدفع الدفعة الأولى بعد عامين من الآن؟ افترض أن معدل الفائدة ١٠٪ مركب نصف سنوي.
36. Find the amount and the present value of an annuity of $50 per quarter for 30 payments if the first payment is due four years from now and money is worth 8% compounded quarterly.
أوجد المبلغ والقيمة الحالية لمعاش سنوي بقيمة ٥٠ دولارًا أمريكيًا لكل ربع سنة على ٣٠ دفعة، إذا كان موعد استحقاق الدفعة الأولى بعد أربع سنوات من الآن، وكانت قيمة المال ٨٪ مركب ربع سنوي.
37. Smith borrows $8,000 at 6% interest compounded quarterly and agrees to repay it in 20 equal quarterly payments. What is the size of each payment if the first payment is due at the end of five years?
اقترض سميث ٨٠٠٠ دولار أمريكي بفائدة ٦٪ مركبة ربع سنوية، ووافق على سدادها على ٢٠ دفعة ربع سنوية متساوية. ما قيمة كل دفعة إذا كان موعد استحقاق الدفعة الأولى في نهاية خمس سنوات؟
38. Thomas borrows $600 at 8% compounded monthly and agrees to repay it in 16 monthly payments. 1ind (he size of each monthly payment if the first payment is due at the end of one year.
اقترض توماس ٦٠٠ دولار أمريكي بفائدة ٨٪ مركبة شهريًا، ووافق على سدادها على ١٦ دفعة شهرية. ١- حجم كل دفعة شهرية إذا كانت الدفعة الأولى مستحقة في نهاية عام واحد.
39. If $100 is deposited at the end of each quarter and the interest rate is 12% compounded quarterly, how many quarterly payments will be needed for the deposits to have a present value of $2,000? Assume that the first deposit is made at the end of two years.
إذا تم إيداع ١٠٠ دولار في نهاية كل ربع سنة، وكان معدل الفائدة ١٢٪ مركبًا ربع سنويًا، فكم عدد الدفعات الربع سنوية اللازمة لكي تبلغ القيمة الحالية للودائع ٢٠٠٠ دولار؟ افترض أن الإيداع الأول تم في نهاية عامين.
40. If $25 is deposited at the end of ten months from now and $25 every month thereafter, how many monthly deposits will be required for a value which now is equivalent to $800? Assume that the interest rate is 12% compounded monthly.
إذا تم إيداع ٢٥ دولارًا في نهاية عشرة أشهر من الآن، و٢٥ دولارًا كل شهر بعد ذلك، فكم عدد الودائع الشهرية اللازمة للحصول على قيمة تعادل الآن ٨٠٠ دولار؟ افترض أن معدل الفائدة ١٢٪ مركبًا شهريًا.
41. Let 1/1/99 be the comparison date. Find the value on the comparison date for each of the single values obtained in Problem 41.
ليكن ١/١/٩٩ هو تاريخ المقارنة. أوجد قيمة كل من القيم الفردية التي تم الحصول عليها في المسألة ٤١ في تاريخ المقارنة.